Может ли работодатель расторгнуть трудовой договор до истечения срока предупреждения об увольнении?

Работодатель с письменного согласия работника имеет право (но не обязан это делать по требованию работника) расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока предупреждения об увольнении, выплатив ему дополнительную (сверх причитающихся при увольнении) компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.

Если работник отказывается ставить подпись об ознакомлении с уведомлением?

В данном случае оформляется соответствующий акт об отказе.